Калькулятор Квадратного Рівняння

Що Таке Квадратне Рівняння?

Квадратна формула є математичним інструментом, що використовується для розв'язання квадратних рівнянь виду:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

Розв'язок цього рівняння виглядає як:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

, де:

• $a$, $b$, та $c$ - коефіцієнти квадратного рівняння,
• $b^2 - 4ac$ називається дискримінантом, що визначає природу коренів.

Природа коренів рівняння на основі Дискримінанта:

1. Додатній Дискримінант ($b^2 - 4ac > 0$): Два різні дійсні корені.
2. Дискримінант дорівнює нулю ($b^2 - 4ac = 0$): Один дійсний корінь (повторюваний корінь).
3. Від'ємний Дискримінант ($b^2 - 4ac < 0$): Два комплексні корені.
   
   

Виведення Квадратної Формули

Крок 0: Запис квадратної формули або ж загального квадратного рівняння:

$$ax^2 + bx + c = 0$$Крок 1: Нормалізація рівняння

Всі частини рівняння діляться на $a$ (при $a \neq 0$) щоб спростити вираз:

$$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$$Крок 2: Винесення постійного члена окремо

Переставляємо постійний член в праву сторону, щоб він був окремо:

$$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$$Крок 3: Виділення повного квадрату у лівій частині рівняння

Додаємо$\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ у праву та ліву частину рівняння:

$$x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a}$$

Тепер можливо спростити ліву частину рівняння як квадратний трином:

$$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}$$Крок 4: Об'єднання членів у правій частині рівняння

Два дроби з правого боку рівняння об'єднуються під спільним знаменником:

$$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$$Крок 5: Взяття квадратного кореня з обох сторін рівняння

Застосуємо квадратний корінь до обох сторін рівняння, пам'ятаючи про врахування як позитивних, так і негативних коренів:

$$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$Крок 6: Розв'яжемо для $x$

Ізоляція $x$ через віднімання $\frac{b}{2a}$ з обох сторін рівняння:

$$x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Об'єднання двох дробів в один:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Приклад

Вирішити рівняння:$2x^2 - 4x - 6 = 0$

1. $a = 2$, $b = -4$, $c = -6$.
2. Підставимо у формулу: $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(2)(-6)}}{2(2)}$$ $$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{4}$$ $$x = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{4}$$ $$x = \frac{4 \pm 8}{4}$$
3. Спростимо: $$x_1 = \frac{4 + 8}{4} = 3, \quad x_2 = \frac{4 - 8}{4} = -1$$

Джерела:

Keedy, M. L., & Bittinger, M. L. (1982). Algebra and Trigonometry: A Functions Approach. Addison Wesley Publishing Company.