Фінанси
Математика

Не знайдено результатів ...

Про нас
Правила користування
Політика конфіденційності

Калькулятор Квадратного Рівняння

Дані рівняння
\({ax}^{2} + {bx} + {c} = 0\)
a =
b =
c =
від Publicalculator.com

Результат

\({\frac{1}{5}x}^{2}{-7.5x} +\frac{5}{7} = 0\)

Квадратне рівняння має розв'язки:

Відповідь: 37.404518793809, 0.095481206191046


Послідовність обчислення

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

\(x = \frac{-(-7.5) \pm \sqrt{(-7.5)^2 - 4*\frac{1}{5}*\frac{5}{7}}}{2*\frac{1}{5}}\)

\(x = \frac{7.5 \pm \sqrt{|55.678571428571|}}{0.4}\)

\(x = \frac{7.5}{0.4} \pm \frac{\sqrt{55.678571428571}}{0.4}\)

\(x = {18.75} \pm {18.654518793809}\)

Що Таке Квадратне Рівняння?

Квадратна формула є математичним інструментом, що використовується для розв'язання квадратних рівнянь виду:

ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0

Розв'язок цього рівняння виглядає як:

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

, де:

  • aa, bb, та cc - коефіцієнти квадратного рівняння,
  • b2−4acb^2 - 4ac називається дискримінантом, що визначає природу коренів.

Природа Коренів на Основі Дискримінанта:

  1. Додатній Дискримінант (b2−4ac>0b^2 - 4ac > 0): Два різні дійсні корені.
  2. Дискримінант дорівнює нулю (b2−4ac=0b^2 - 4ac = 0): Один дійсний корінь (повторюваний корінь).
  3. Від'ємний Дискримінант (b2−4ac<0b^2 - 4ac < 0): Два комплексні корені.

Виведення Квадратної Формули

Крок 0: Почнімо з квадратної формули або з загального квадратного рівняння:

ax2+bx+c=0, де a≠0ax^2 + bx + c = 0Крок 1: Нормалізуємо рівняння

Розділимо на aa (при a≠0a \neq 0) щоб спростити вираз:

x2+bax+ca=0x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0Крок 2: Перенесемо постійний член на іншу сторону

Переставимо рівняння так, щоб постійний член був окремо:

x2+bax=−cax^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}Крок 3: Виділимо повний квадрат у лівій частині

Додамо та віднімемо (b2a)2\left(\frac{b}{2a}\right)^2 у лівій частині рівняння:

x2+bax+(b2a)2=(b2a)2−cax^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a}

Спростимо ліву частину як квадратний трином:

(x+b2a)2=b24a2−ca\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}Крок 4: Об'єднаємо члени у правій частині

Дроби з правого боку можна об'єднати під спільним знаменником:

(x+b2a)2=b2−4ac4a2\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}Крок 5: Візьмемо квадратний корінь з обох сторін

Застосуємо квадратний корінь до обох сторін, пам'ятаючи про врахування як позитивних, так і негативних коренів:

x+b2a=±b2−4ac2ax + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}Крок 6: Розв'яжемо для xx

Ізолюємо xx через віднімання b2a\frac{b}{2a} з обох частин рівняння:

x=−b2a±b2−4ac2ax = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Об'єднаємо дроби в один вираз:

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Приклад

Вирішити рівняння: 2x2−4x−6=02x^2 - 4x - 6 = 0

  1. a=2a = 2, b=−4b = -4, c=−6c = -6.
  2. Підставимо у формулу: x=−(−4)±(−4)2−4(2)(−6)2(2)x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(2)(-6)}}{2(2)} x=4±16+484x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{4} x=4±644x = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{4} x=4±84x = \frac{4 \pm 8}{4}
  3. Спростимо: x1=4+84=3,x2=4−84=−1x_1 = \frac{4 + 8}{4} = 3, \quad x_2 = \frac{4 - 8}{4} = -1

Джерела:

Keedy, M. L., & Bittinger, M. L. (1982). Algebra and Trigonometry: A Functions Approach. Addison Wesley Publishing Company.



Будь ласка, цитуйте наступним чином:
Земцов, І. "Калькулятор Квадратного Рівняння". Publicalculator.com, 22 січня 2025. Опубліковано на: https://publicalculator.com/ua/quadratic-formula-calculator. Відвідано: кві 02, 2025.