Калькулятор Найменшого Спільного Кратного

Найменше спільне кратне (НСК) - це найменше натуральне число, яке ділиться на всі задані числа без остачі. У математичних позначеннях: \[ \text{Якщо } L = \text{LCM}(a,b), \text{ тоді:} \] \[ L \bmod a = 0 \text{ та } L \bmod b = 0 \text{, } \] \[ \text{де } L \text{ найменше таке число} \]

Методи Визначення НСК

Для обчислення НСК двох або більше чисел можна скористатися кількома методами, серед яких:

• Метод Переліку Кратних
• Метод Розкладання на Прості Множники
• Метод Поділу (сходинками)
• Метод Найбільшого Спільного Дільника (НСД)

Метод Переліку Кратних

Метод перебору кратних чисел полягає у визначенні кратних чисел до тих пір, поки не буде знайдено спільне кратне.

▶ Запишіть кратні кожного заданого числа послідовно у рядок.

▶ Знайдіть найменше кратне, спільне для всіх заданих чисел.

Приклад: Знайти НСК чисел 4 та 6.

Множники числа 4: 4,8,12,16,…

Множники числа 6: 6,12,18,24,… 

Так як найперший спільний множник дорівнює 12, тоді НСК(4,6) = 12

Метод Розкладання на Прості Множники

Цей метод передбачає розкладання чисел на прості множники і використання найвищого степеня кожного простого множника.

Приклад: Визначити НСК(36, 48) \[ 36 = 2^2 \times 3^2 \] \[ 48 = 2^4 \times 3 \] \[ \text{НСК} = 2^4 \times 3^2 = 144 \]

Метод Поділу (сходинками)

Методом Поділу (також відомого як метод сходів) систематично проводиться ділення кожного заданого числа на прості множники, допоки кожне з чисел у залишку не буде дорівнювати одиниці.  

▶ Записуйте результати ділення у стовпчик

▶ Розділіть на найменший простий множник

▶ Продовжуйте, поки всі числа не стануть 1.

Приклад: Визначити НСК(15, 20, 25) \[ \begin{array}{c|ccc} & 15 & 20 & 25 \\ 2 & 15 & 10 & 25 \\ 2 & 15 & 5 & 25 \\ 3 & 5 & 5 & 25 \\ 5 & 1 & 1 & 5 \\ 5 & 1 & 1 & 1 \end{array} \] \[ \text{НСК} = 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 5 = 300 \]

Метод Найбільшого Спільного Дільника (НСД)

Існує потужний взаємозв'язок між НСК та НСД (Найбільший Спільний Дільник):

\[ \text{НСК}(a,b) \times \text{НСД}(a,b) = |a \times b| \]

Приклад: Для чисел 12 та 18: \[ \text{НСД}(12,18) = 6 \] \[ \text{НСК}(12,18) = \frac{12 \times 18}{6} = 36 \]

Властивості НСК

1. Комутаційна властивість. Зміна порядку чисел не впливає на результат НСК.

\[ \text{НСК}(a,b) = \text{НСК}(b,a) \]

2. Асоціативна властивість. Операції з НСК можна групувати будь-яким чином без зміни кінцевого результату. Особливо корисно при обчисленні НСК більш ніж двох чисел.

\[ \text{НСК}(a,\text{НСК}(b,c)) = \text{НСК}(\text{НСК}(a,b),c) \]

3. Властивість тотожності. Властивість тотожності підкреслює фундаментальну роль числа 1 (один) в математиці, залишаючи початкове число незмінним.

\[ \text{НСК}(a,1) = a \]

4. Співвідношення з кратними. Ця властивість може спростити обчислення НСК, коли одне число є множником іншого, безпосередньо беручи більше число як результат.

Якщо \(a|b\) (a є дільником b), маємо: \[ \text{НСК}(a,b) = b \]

5. Розподільна властивість. Розподільна властивість не поширюється на НСК, завдяки чому його обчислення залишається відмінним від інших арифметичних операцій.

\[ \text{НСК}(a,b+c) ≠ \text{НСК}(a,b) + \text{НСК}(a,c) \]

6. Зв'язок між НСМ та НСК. Добуток НСК і найбільшого спільного множника (НСД) двох чисел дорівнює абсолютному добутку цих чисел.

 \[ \text{НСК}(a,b) = \frac{|a \times b|}{\text{НСД}(a,b)} \]