Калькулятор Найбільшого Спільного Дільника
| Введіть Числа ▼ |
|---|
| Число 1= | |
| Число 2= | |
| Число 3= | |
| Число 4= |
| * - додавайте до 7 чисел |
Цитувати
Поділитися
Друкувати
Результат |
НСД =
4
(Найбільший Спільний Дільник)
Пошук НСД алгоритмом Евкліда
▶ Впорядкуйте числа, починаючи з найменшого і рухаючись до найбільшого (в порядку зростання). Так, впорядкована множина: 36, 72, 128, 284
▶ Починаємо з першої пари найменших чисел, встановивши менше з них 36 як дільник. Далі, виконуємо послідовне ділення попереднього знаменника на залишок (R) від його ділення, поки залишок не стане рівним нулю.
▶ Пошук НСД числа: 72 та 36:
72 ÷ 36 = 2 (R0)
НСД(72, 36) = 36 є проміжним результатом, тому що іще маємо пари чисел.
▶ Пошук НСД числа: 128 та 36:
128 ÷ 36 = 3 (R20)
36 ÷ 20 = 1 (R16)
20 ÷ 16 = 1 (R4)
16 ÷ 4 = 4 (R0)
НСД(128, 36) = 4 є проміжним результатом, тому що іще маємо пари чисел.
▶ Пошук НСД числа: 284 та 4:
284 ÷ 4 = 71 (R0)
НСД(284, 4) = 4 є кінцевим результатом.
НСД(36, 72, 128, 284) = 4
Що Таке Найбільший Спільний Дільник?
Найбільший спільний дільник (НСД), також званий найбільшим спільним кратним (НСК) або найбільшим спільним множником (НСМ), представляє найбільше додатнє ціле число, яке ділить кілька чисел без залишку. Розуміння того, як знаходити найбільший спільний дільник (НСД), є фундаментальним. Якщо Ви спрощуєте дроби, розв'язуєте рівняння, чи зайняті іншими математичними завданнями, розуміння найбільшого спільного дільника є необхідним.
\[ \text{Для чисел } a, b: \]
\[ \text{НСД}(a,b) = \max{d \in \mathbb{Z}^+ : d | a \text{ та } d | b} \]
Як Знайти Найбільший Спільний Дільник (НСД)?
Для обчислення найбільшого спільного кратного можна використовувати кілька методів, включаючи перелік дільників, розклад на прості множники та алгоритм Евкліда. Кожен з методів має свої переваги залежно від контексту. Для випадку з малими числами, перелік множників або розклад на прості множники може бути достатнім, тоді як алгоритм Евкліда доцільно викорсистовувати з великими числами завдяки своїй ефективності та простоті.
1. Метод Переліку Множників
Один із найпростіших способів знайти найбільший спільний дільник (НСД) — це перелічити множники кожного числа та визначити найбільший спільний множник. Наприклад, щоб знайти НСД чисел 18 і 24:
- Множники 18: \(1, 2, 3, 6, 9, 18\)
- Множники 24: \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\)
- Спільні множники: \(1, 2, 3, 6\)
НСД(18, 24) = 6.
Цей метод добре працює для малих чисел, але стає непрактичним для більших.
2. Метод Розкладання на Прості Множники
Цей метод ефективний для чисел з чіткими простими множниками. Корисно в навчальних закладах. Розклад числа на прості множники передбачає розбиття кожного числа на його прості множники, а потім знаходження спільних множників. Щоб знайти найбільше спільне кратне чисел \(48\) та \(60\):
- Прості множники числа \(48 = 2^4 \times 3\)
- Прості множники числа \(60 = 2^2 \times 3 \times 5\)
- Спільні множники: \(2^2 \times 3\)
НСД (48, 60) = 12.
3. Алгоритм Евкліда
Евклідів алгоритм є надзвичайно ефективним і систематичним методом для знаходження найбільшого спільного дільника. І він особливо потужний для дуже великих чисел і становить основу багатьох сучасних обчислювальних підходів. Це працює шляхом багаторазового віднімання або ділення меншого числа на більше число, поки залишок не стане нульовим.
Математичний вираз:
\[ \text{НСД}(a,b) = \text{НСД}(b, a \bmod b) \]
Наприклад, знайдемо НСД чисел \(56\) та \(98\):
1. Ділимо \(98\) на \(56\): залишок \(42\);
2. Ділимо \(56\) на \(42\): залишок \(14\);
3. Ділимо \(42\) на \(14\): залишок \(0\).
Отже, НСД (56, 98) = 14.
Джерела
Rosen, Kenneth H. Elementary Number Theory and Its Applications. Boston, Addison-Wesley, 2011., p.45-78.
Hardy, G.H., Wright, E.M., Silverman, J. and Wiles, A. (2008). An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press., p.102-135.
Knuth, D.E. (1998). The Art of Computer Programming. Addison-Wesley Professional., p.333-345.
