Calculadora del Máximo Común Divisor
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MCD =
4
(Máximo Común Divisor)
El cálculo del MCD utilizando el algoritmo de Euclides
▶ Ordena los números, comenzando desde el número más bajo hacia arriba (en orden ascendente). Entonces, el nuevo superconjunto será: 36, 72, 128, 284
▶ Obtén el primer par de números con el menor número de 36 como divisor. Realiza la división secuencial del denominador anterior y el residuo (R) de su división hasta que obtengamos un cero en el residuo.
▶ Encontrar el MCD de 72 y 36:
72 ÷ 36 = 2 (R0)
MCD(72, 36) = 36 es el subresultado, ya que tenemos más pares de números.
▶ Encontrar el MCD de 128 y 36:
128 ÷ 36 = 3 (R20)
36 ÷ 20 = 1 (R16)
20 ÷ 16 = 1 (R4)
16 ÷ 4 = 4 (R0)
MCD(128, 36) = 4 es el subresultado, ya que tenemos más pares de números.
▶ Encontrar el MCD de 284 y 4:
284 ÷ 4 = 71 (R0)
MCD(284, 4) = 4 proporciona la respuesta final.
MCD(36, 72, 128, 284) = 4
¿Cuál es el Máximo Común Divisor?
El Máximo Común Divisor (MCD), también llamado Máximo Común Factor (MCF) o Mayor Común Divisor (MCD), representa el mayor número entero positivo que divide múltiples números sin dejar un residuo. Entender cómo encontrar el MCD es fundamental. Ya sea que estés simplificando fracciones, resolviendo ecuaciones o ocupado con otras tareas matemáticas, entender el MCD es absolutamente necesario.
\[ \text{Para números } a, b: \]
\[ \text{MCD}(a,b) = \max{d \in \mathbb{Z}^+ : d | a \text{ y } d | b} \]
Formas de Encontrar el Máximo Común Divisor (MCD)
Se pueden utilizar varios métodos para calcular el MCD, incluyendo listar los factores, la factorización prima y el algoritmo de Euclides. Cada método para encontrar el MCD tiene sus ventajas dependiendo del contexto. En el caso de números pequeños, listar los factores o la factorización prima puede ser suficiente, mientras que el Algoritmo Euclidiano sobresale con números más grandes debido a su eficiencia y simplicidad.
1. Método de Listado de Factores
Una de las maneras más sencillas de encontrar el MCD es listar los factores de cada número e identificar el mayor factor común. Este método funciona bien para números pequeños, pero se vuelve impracticable para números más grandes. Por ejemplo, para encontrar el MCD de 18 y 24:
- Factores de 18: \(1, 2, 3, 6, 9, 18\)
- Factores de 24: \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\)
- Factores comunes: \(1, 2, 3, 6\)
MCD(18, 24) = 6.
2. Método de Factorización Prima
Este método es eficiente para números con factores primos claros. Útil en entornos educativos. La factorización prima implica descomponer cada número en sus factores primos y luego encontrar los factores comunes. Para encontrar el MCD de \(48\) y \(60\):
- Factores primos de \(48 = 2^4 \times 3\)
- Factores primos de \(60 = 2^2 \times 3 \times 5\)
- Factores comunes: \(2^2 \times 3\)
MCD (48, 60) = 12.
3. Algoritmo Euclidiano
El Algoritmo de Euclides es un método altamente eficiente y sistemático para encontrar el MCD. Y es especialmente poderoso para números muy grandes y forma la base de muchos enfoques computacionales modernos. Funciona restando o dividiendo repetidamente el número más pequeño en el número más grande hasta que el residuo sea cero.
Representación matemática:
\[ \text{MCD}(a,b) = \text{MCD}(b, a \bmod b) \]
Por ejemplo, para encontrar el MCD de \(56\) y \(98\):
1. Divide \(98\) entre \(56\): resto \(42\).
2. Divide \(56\) entre \(42\): resto \(14\).
3. Divide \(42\) entre \(14\): resto \(0\).
MCD(56, 98) = 14.
Citas:
Rosen, Kenneth H. Elementary Number Theory and Its Applications. Boston, Addison-Wesley, 2011., p.45-78.
Hardy, G.H., Wright, E.M., Silverman, J. and Wiles, A. (2008). An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press., p.102-135.
Knuth, D.E. (1998). The Art of Computer Programming. Addison-Wesley Professional., p.333-345.
