Калькулятор Степеня

Що Означає Показник Степеня?

Степінь — це математичний запис, що представляє повторне множення основного числа. Наприклад, $a^n$ означає, що число $a$ (основа) множиться на себе $n$ разів. Степені спрощують складні обчислення, особливо в таких галузях, як алгебра, геометрія та математичний аналіз. Наприклад:

$$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$$

Степені також можуть поширюватися на дробові та від'ємні числа, що дозволяє виконувати складні математичні операції, такі як знаходження коренів або обернених значень.

Основні Правила та Властивості Степенів

1. Правило Добутку Степенів: При множенні з однаковою основою, додавайте показники степенів.

   $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

   Приклад: $2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32$.

2. Правило частки степенів: При діленні з однаковою основою віднімайте показники степенів.

   $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \, \text{де } m > n$$

   Приклад: $\frac{5^3}{5^1} = 5^{3-1} = 5^2 = 25$.

3. Основна Властивість Степеня: Коли підносимо степінь до іншого степеня, множимо їх.

   $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

   Приклад: $(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64$.

4. Правило Нульового Показника Степеня: Будь-яка ненульова основа, піднесена до степеня 0, дорівнює 1.

   $$a^0 = 1$$

   Приклад: $7^0 = 1$.

5. Правило Від'ємного Показника Степеня: Від'ємний показник степеня вказує на обернене значення.

   $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

   Приклад: $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.

6. Правило Дробового Показника Степеня: Дробовий показник степеня представляє корінь.

   $$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$$

   Приклад: $8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$.

7. Розподільні Властивості:

   • Для множення: $$(ab)^n = a^n \cdot b^n$$
   • Для ділення: $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$

Джерела:

Larson, R., Falvo, D.C. and Hostetler, R.P. (2010). Precalculus with Limits., pp. 216-228.